100 Баллов решить с объяснением

Question

100 Баллов решить с объяснением

Comments

Надо найти разность корней?

---

да

---

А тут только один корень

Answer 1

Пусть b = x + 4.

Тогда уравнение примет вид:
sqrt(b + 1) + sqrt(b) = a.

Область определения: b >= 0.

Так как обе функции sqrt(b + 1) и sqrt(b) монотонно возрастают, то и функция sqrt(b + 1) + sqrt(b) тоже монотонно возрастает.

Следовательно, уравнение sqrt(b + 1) + sqrt(b) = a имеет только один корень.

Пусть с = sqrt(b) = sqrt(x + 4).
Тогда уравнение примет вид:

с + sqrt(c*c + 1) = a
sqrt(c*c + 1) = a - c
c*c + 1 = (a - c)*(a - c)
c*c + 1 = a*a - 2ac + c*c
1 = a*a - 2ac
2ac = a*a - 1
c = (a*a - 1)/2a

sqrt(x + 4) = (a*a - 1)/2a
x + 4 = (a*a - 1)*(a*a - 1)/(4a*a)
x = (a*a - 1)*(a*a - 1)/(4a*a) - 4
x = (a*a*a*a - 2a*a + 1)/(4a*a) - 4
x = a*a/4 - 1/2 + 1/(4a*a) - 4
x = a*a/4 - 4.5 + 1/(4a*a).

Ответ: разность корней равна a*a/4 - 4.5 + 1/(4a*a).

Comments

Тогда правильно. А у нас где-то спрашивают область значений?

---

Не спрашивается. Нужно учитывать при каких а будет иметь решение данное уравнение. У вас в вашем случае выполняется для всех а

---

Наверно, но исправить я уже не могу.

---

Да, a >= 1

---

Верно.

Answer 2

ОДЗ
x+5≥0⇒x≥-5
x+4≥0⇒x≥-4
a>0
x≥-4 U a>0
y=√(x+5)+√(x+4),x≥-4
ymin=y(-4)=1
Cтроим обе ветви √х+5 и √х+4 и при построении данной функции суммируем координаты точек
Теперь рассматриваем прямую у=а,а≥1
Замечаем ,что на всей области определения только 1 решение