Решите неравенство, пожалуйста

Question

skvrttt_zn · Answer 1 · 2018-05-31T04:41:52+0000

$\mathtt{1+\frac{4}{\log_5x-2}+\frac{3}{\log_5^2x-\log_5(5x^4)+5}\geq0}$

начнём, пожалуй, с самого простого и интересного – области допустимых значений: $\displaystyle\mathtt{\left\{{{\log_5x-2\neq0}\atop{\log_5^2x-\log_5(5x^4)+5\neq0}}\right}$

решим по отдельности каждое из уравнений системы, чтобы не мучиться с оформлением.

$\mathtt{\log_5x-2\neq0,~\to~x\neq25}$

$\mathtt{\log_5^2x-\log_5(5x^4)+5=\log_5^2x-(\log_55+\log_5x^4)+5=}\\\mathtt{\log_5^2x-4\log_5|x|+4=(\log_5x-2)^2\neq0,~\to~x\neq25}$

итак, решаем неравенство, учтя разложение на множители знаменателя второй дроби: $\mathtt{1+\frac{4}{\log_5x-2}+\frac{3}{(\log_5x-2)^2}\geq0}$

произведя замену $\mathtt{\log_5x-2=a}$ (где переменная отлична от нуля, разумеется), получим следующее неравенство: $\mathtt{1+\frac{4}{a}+\frac{3}{a^2}\geq0}$

решаем неравенство относительно новой переменной:

$\mathtt{\frac{a^2+4a+3}{a^2}\geq0;~\frac{(a+3)(a+1)}{a^2}\geq0,~\to~a\in(\infty;-3]U[-1;0)U(0;+\infty)}$

произведя обратную замену, получаем, что:

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{\log_5x-2\leq-3}\\\mathtt{-1\leq \log_5x-2\ \textless \ 0}\\\mathtt{\log_5x-2\ \textgreater \ 0}\end{array}\right}\atop{\left\{{{x\ \textgreater \ 0}\atop{x\neq25}}\right}}\right}$

решим отдельно совокупность неравенств, а затем пересечём их решения с ОДЗ:

$\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{\log_5x\leq-1}\\\mathtt{1\leq\log_5x\ \textless \ 2}\\\mathtt{\log_5x\ \textgreater \ 2}\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{\log_5x\leq\log_5\frac{1}{5}}\\\mathtt{\log_55\leq\log_5x\ \textless \ \log_525}\\\mathtt{\log_5x\ \textgreater \ \log_525}\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\leq\frac{1}{5}}\\\mathtt{5\leq x\ \textless \ 25}\\\mathtt{x\ \textgreater \ 25}\end{array}\right}$

ОТВЕТ: $\mathtt{x\in(0;\frac{1}{5}]U[5;25]U(25;+\infty)}$