Решение: Помогите решить: x^7 +7x-8=0

$x^7+7x-8=0 \\\ x^7=-7x+8 \\\ \left \{ {{y=x^7} \atop {y=-7x+8}} \right.$

Рассматриваем две полученные функции. Функция вида $y=x^{2n+1}, n\in N$ (в данном случае $y=x^7$ ) является возрастающей на всей числовой прямой. Функция вида $y=kx+b, k<0$ (в данном случае $y=-7x+8$ ) является убывающей на всей числовой прямой. Но, возрастающая и убывающая функция могут пересечься максимум в одной точке. значит, если мы подберем решение к исходному уравнению, то это решение будет единственное.
Сумма коэффициентов уравнения 1+7-8=0, значит число 1 является его корнем.
Проверка: $1^7+7\cdot1-8=0$ - верное равенство.
Ответ: 1

Рассмотрим функцию
$y(x)=x^7+7x-8$

В нуле функция отрицательна:
$y(0)=0^7+7*0-8=-8$

Найдём производную:
$y'(x)=7x^6+7$

Производная положительна при всех х, значит, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой и пересекает ось ОХ в одной-единственной точке.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проще всего найти это решение методом перебора, так как оно достаточно очевидно: х = 1. А доказательство того, что других корней нет, я привёл выше.